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Countable vs Uncountable 위 용어를 의미로 해석하면 "셀 수 있는"과 "셀 수 없는"이다. 셀 수 있다는 의미로 접근하면 Countable Set은 유한집합을 의미할 것 같다. 하지만 유한집합은 Finite Set이라는 용어가 있고 이는 Countable Set과 구분되고 심지어 위 두 용어는 모두 무한집합(Infinite Set)에서 정의한다. Countable Set은 자연수집합과 대응되는 집합이다. 자연수가 개수를 세는데 사용되니 이런 의미를 가지게 된 것 같다. 앞에서 보였듯이 $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Q}|$이므로 $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$는 모두 Countable Set이 된다. 반면 $\mathbb..

원소의 개수를 세자 어떤 집합의 원소의 개수를 Cardinality라고 하고 기호는 $|A|$로 나타낸다. (앞으로 크기라고도 표현할 것이다.) Cardinality에 관해 두가지 성질이 있다. $|A| < |B| < |C|$ 이면 $|A| < |C|$이다. $|A| = |A|$이다. 당연해보이지만 일단 짚고 넘어가자. 유한집합에서 Cardinality는 그냥 원소의 개수를 세면 되기 때문에 생각하기 쉽다. 하지만 집합이 무한집합이라면 어떨까? 일반적으로 생각하기 힘들다. 자연수 집합 $\mathbb{N}$이 있다. $\mathbb{N}$는 무한함이 자명하다. 자연수에 0을 추가해 새로운 집합 $\mathbb{N}^+ = \mathbb{N} \cup \{0\} $을 정의하자. (범자연수 집합이 된다.) ..