나름 개발자의 IT블로그

지난 시간 가볍게 알아본 Resultant를 활용해보자. 가환대수학에 포함되는 Elimination Theory에 있는 매개변수 함수를 음함수로 나타내는 법을 알아볼 것이다. 아직 Resultant의 성질은 알아보지 않았지만 그래도 충분하다. 음함수와 매개변수 함수 수학적인 함수를 표현하는 다양한 방법이 있다. $y = f(x)$같이 나타내는 양함수(Explicit function), $F(x,y) = 0$같이 나타내는 음함수(Implicit function), $x = f(t), y = g(t)$로 나타내는 매개변수 함수(Parameterized function)가 그 예시이다. 각 표현에 있어서 장단점이 있고 여기에서는 음함수와 매개변수 함수에 주목한다. 우리의 질문은 "매개변수로 표현된 함수를 음함..

다항식의 공통 근 두 다항식 $f, g$가 주어질 때 공통 근이 존재하는지 판단하려면 어떻게 해야 할까? 가장 쉬운 방법은 각각의 근을 모두 구하고 겹치는게 있는지 확인하는 것이다. 하지만 이는 2차 다항식까지는 근의 공식으로 편리하게 확인할 수 있지만 3차 이상으로 올라가게 되면 자명한 근 아니면 찾기 힘들어진다. 한 번 알 방법이 있는지 알아보자. 다항식이 공통 근을 가지려면.. $r$차 다항식 $f(x) = a_r x^r + a_{r-1} x^{r-1} + ... + a_1 x + a_0$과 $s$차 다항식 $g(x) = b_s x^s + b_{s-1} x^{s-1} + ... + b_1x^1 + b_0$이 있다. 다항식이 어떤 근 $\alpha$를 가진다는 것은 $x-\alpha$를 인수로 가진다..

치환 $\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 3&8&6&7&4&1&5&2 \end{pmatrix}$가 있다고 하자. 이 치환을 반복하다보면 유한번(최대 치환 크기)안에 처음 원소 순서로 돌아온다. $\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 3&8&6&7&4&1&5&2 \end{pmatrix}$ $\sigma^2 = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 6&2&1&5&7&3&4&8 \end{pmatrix}$ $\sigma^3 = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 1&8&3&4&5&6&7&2 \end{pmatrix}$ $\sigma^4 = \begin{pmatrix} 1&2&3..

치환 집합 $A$가 있을 때 일대일 함수 $\sigma : A \rightarrow A$를 $A$의 치환(Permutation)이라고 한다. 쉽게 말해 정의역 원소의 순서가 있다고 가정할 때 그 순서를 바꾸는 함수를 치환이라고 하는 것이다. $ \{ 1 \space 2 \space 3 \} \rightarrow \{ 2 \space 3 \space 1\}$가 치환의 예이다. 위의 예시를 기호로 나타내면 다음과 같다. $ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (행렬같아보이지만 행렬이 아니다!) $\sigma (1) = 2$ $\sigma (2) = 3$ $\sigma (3) = 1$ 인 함수가 된다. 서로 다른 치환을 (곱)연산할 ..

순환군 $\langle a \rangle$는 $a$을 생성원으로 하는 부분군이었다. 6절에서는 생성원이 하나였으나 여기서는 여러 개의 생성원으로 이루어지는 부분군을 알아보고자 한다. $a, b$를 포함하는 $\langle G \rangle$의 가장 작은 부분군 $H$는 무엇일까? $... a^{-1}, a, a^2, a^3, ...,b^{-1} b, b^1, b^2, ...$도 있어야 하고 $ab, a^2b, a^3b, ..., ab^2, a^2b^2, ...$도 있어야 하며 $aba, abab, abab^2, a^2b^{-1}a^3$같은 경우도 포함해야 할 것이다.(가환이라는 보장이 없기 때문) 이를 정리해보면 다음과 같이 나올것이다. $\langle a, b \rangle = \{ a^{n_1}b^{..

순환군 $G$가 군이고 $a \in G$일때 $H=\{ a^n | n \in \mathbb{Z}\}$인 군 $H$는 $G$의 부분군이며 a에 의해서 생성되는 G의 순환 부분군(cyclic subgroup $\langle a \rangle$ of generated by $a$)이다. 또한 $H$는 $a$를 포함하는 $G$의 가장 작은 부분군이다. $a$는 $H$의 생성원(generator of $G$)이며 군 $H=\langle a \rangle$는 순환적(cyclic)이라고 한다. 순환군의 성질 1. 모든 순환군은 가환이다. 2. 순환군의 부분군은 순환적이다. 3. $G = \langle a \rangle$라 할때 $G$는 $\mathbb{Z}$나 $\mathbb{Z_n}$과 동형이다. 4. $G = \..

지금까지는 이항연산의 예를 들기 위해 $*$기호를 사용하였지만 앞으로는 기호를 다음과 같이 표기하기로 한다. 군(Group) 아벨군(Abelian group) $a*b$ $ab$ $a+b$ 항등원 $1$ $0$ 역원 $a^{-1}$ $-a$ $\overbrace{a*a*\cdots *a}^{\rm n}$ $ a^n = \overbrace{aa\cdots a}^{\rm n}$ $ na = \overbrace{a+a+\cdots +a}^{\rm n}$ 단순 덧셈, 곱셈기호같이 보이지만 실제로 덧셈, 곱셈의 역할을 하는 것은 아니다. 군에서의 이항연산을 표기만 저렇게 하는 것이다.(생각보다 편리한 부분이 많은 것 같다.) 위수 군$G$에 속하는 원소의 개수를 $G$의 위수(order) $|G|$라고 한다. 부..

군 군(Group) $\langle G, *\rangle $는 이항연산 $*$아래에 닫혀있고 다음 공리를 만족하는 집합 $G$이다. $\mathcal{G_1}$: 모든 $a,b,c \in G$에 대해 $(a*b)*c=a*(b*c)$을 가진다. (결합법칙) $\mathcal{G_2}$: 모든 $x \in G$에 대해 $e*x=x*e=x$인 $e \in G$가 존재한다. ($*$에 대한 항등원의 존재) $\mathcal{G_3}$: $a \in G$에 대응하는 $a'*a=a*a'=e$인 $a' \in G$가 존재한다.($a$의 역원 존재) 특히 군이면서 연산 $*$가 가환인경우 Abel군(Abelian group)이라고 한다. 즉 군이란 결합법칙, 항등원, 각 원소에 대한 역원을 가진 이항연산을 갖춘 집합이..

이항 대수적 구조 지금까지 "연산을 집합 $S$에 대하여 이항연산 $*$가 있을 때..."라고 표현을 했다. 앞으로 이를 간략화 하여 $(S, *)$로 표기하고 이항 대수적 구조(binary algebraic structure)라고 부른다. $(\mathbb{R},+)$같은 경우는 실수의 덧셈 연산에 대한 이항 대수적 구조라고 보면 된다. 동형 이항 구조 두 이항구조가 구조적으로 같기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다. 두 이항구조 $(S, *), (S', *'), x \in S, x' \in S'$에서 만약 $x \leftrightarrow x', y \leftrightarrow y'$이면 $ x*y \leftrightarrow x' *' y'$인 일대일 대응관계를 만족해야 한다. 여기서 $x \le..

이항연산(binary operation) 어떤 집합 $S$에서 이항연산 $*$가 $S \times S \rightarrow S$인 사상이다. 순서쌍 $(a,b)\in S \times S$에 대해 $S$의 원소 $*((a,b))=a*b$로 나타낸다. 이를 우리가 평소 하던 실수 덧셈에 대입해 보자면 $S = \mathbb{R}, *=+$ 가 된다. 이항연산에서 핵심은 순서쌍의 집합과 연산 결과의 집합이 같아야 한다는 것이다. 이를테면 다음은 이항연산이 아니다. $S = \mathbb{Z^+}, *=-$ $a=1, b=3$을 선택할 경우 $a-b=-2$가 되어 $\mathbb{Z^+}$에 포함되지 않기 때문이다. 유도된 연산(induced operation) $*$가 $S$위에서 이항연산이고 $H \subs..