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수학/현대대수학

[현대대수학] 6. 순환군

riroan 2021. 12. 14. 02:58

순환군

G가 군이고 aG일때 H={an|nZ}인 군 HG의 부분군이며 a에 의해서 생성되는 G의 순환 부분군(cyclic subgroup a of generated by a)이다.

또한 Ha를 포함하는 G의 가장 작은 부분군이다.

aH의 생성원(generator of G)이며 군 H=a순환적(cyclic)이라고 한다.

 

순환군의 성질

1. 모든 순환군은 가환이다.

2. 순환군의 부분군은 순환적이다.

3. G=a라 할때 GZZn과 동형이다.

4. G=a 이고 |G|=n일 때 bG,b=as라 하면 |b|=ngcd(n,s)이다.

4-1. G=a이고 |G|=n일 때 G의 다른 생성원은 gcd(r,n)=1ar꼴의 원소이다.

 

Zn={0,1,2,...,n1}일 때 Z4,+4를 살펴보자.

1을 생성원으로 보면 1,2,3,0,1,2,3,...{0,1,2,3}

2를 생성원으로 보면 2,0,2,0,2...{0,2}

3을 생성원으로 보면 3,2,1,0,3,2,1,0...{0,1,2,3}

4를 생성원으로 보면 0,0,0,0...{0}

이 나온다.

이 중 Z4{0,1,2,3}이 되는 생성원은 4와 서로소인 1, 3이 되어 Z4=1=3이라고 볼 수 있다.

관찰해보면 2, 4도 순환군임을 볼 수 있다.

Zn,+n의 생성원의 개수는 4-1에 의해 n과 서로소의 개수만큼 존재한다.

 

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