순환군
G가 군이고 a∈G일때 H={an|n∈Z}인 군 H는 G의 부분군이며 a에 의해서 생성되는 G의 순환 부분군(cyclic subgroup ⟨a⟩ of generated by a)이다.
또한 H는 a를 포함하는 G의 가장 작은 부분군이다.
a는 H의 생성원(generator of G)이며 군 H=⟨a⟩는 순환적(cyclic)이라고 한다.
순환군의 성질
1. 모든 순환군은 가환이다.
2. 순환군의 부분군은 순환적이다.
3. G=⟨a⟩라 할때 G는 Z나 Zn과 동형이다.
4. G=⟨a⟩ 이고 |G|=n일 때 b∈G,b=as라 하면 |⟨b⟩|=ngcd(n,s)이다.
4-1. G=⟨a⟩이고 |G|=n일 때 G의 다른 생성원은 gcd(r,n)=1인 ar꼴의 원소이다.
Zn={0,1,2,...,n−1}일 때 ⟨Z4,+4⟩를 살펴보자.
1을 생성원으로 보면 1,2,3,0,1,2,3,...→{0,1,2,3}
2를 생성원으로 보면 2,0,2,0,2...→{0,2}
3을 생성원으로 보면 3,2,1,0,3,2,1,0...→{0,1,2,3}
4를 생성원으로 보면 0,0,0,0...→{0}
이 나온다.
이 중 Z4 즉 {0,1,2,3}이 되는 생성원은 4와 서로소인 1, 3이 되어 Z4=⟨1⟩=⟨3⟩이라고 볼 수 있다.
관찰해보면 ⟨2⟩, ⟨4⟩도 순환군임을 볼 수 있다.
⟨Zn,+n⟩의 생성원의 개수는 4-1에 의해 n과 서로소의 개수만큼 존재한다.
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