[현대대수학] 6. 순환군

순환군

$G$가 군이고 $a \in G$일때 $H=\{ a^n | n \in \mathbb{Z}\}$인 군 $H$는 $G$의 부분군이며 a에 의해서 생성되는 G의 순환 부분군(cyclic subgroup $\langle a \rangle$ of generated by $a$)이다.

또한 $H$는 $a$를 포함하는 $G$의 가장 작은 부분군이다.

$a$는 $H$의 생성원(generator of $G$)이며 군 $H=\langle a \rangle$는 순환적(cyclic)이라고 한다.

 

순환군의 성질

1. 모든 순환군은 가환이다.

2. 순환군의 부분군은 순환적이다.

3. $G = \langle a \rangle$라 할때 $G$는 $\mathbb{Z}$나 $\mathbb{Z_n}$과 동형이다.

4. $G = \langle a \rangle$ 이고 $|G|=n$일 때 $b \in G, b = a^s$라 하면 $|\langle b \rangle|=\frac{n}{gcd(n,s)}$이다.

4-1. $G = \langle a \rangle$이고 $|G|=n$일 때 $G$의 다른 생성원은 $gcd(r,n)=1$인 $a^r$꼴의 원소이다.

 

$\mathbb{Z_n} = \{0,1,2,...,n-1\}$일 때 $ \langle \mathbb{Z_4}, +_4 \rangle$를 살펴보자.

$1$을 생성원으로 보면 $1,2,3,0,1,2,3,... \rightarrow \{ 0,1,2,3\}$

$2$를 생성원으로 보면 $2,0,2,0,2... \rightarrow \{ 0,2\}$

$3$을 생성원으로 보면 $3,2,1,0,3,2,1,0... \rightarrow \{ 0,1,2,3\}$

$4$를 생성원으로 보면 $0,0,0,0... \rightarrow \{ 0\}$

이 나온다.

이 중 $\mathbb{Z_4}$ 즉 $\{0,1,2,3\}$이 되는 생성원은 $4$와 서로소인 $1$, $3$이 되어 $\mathbb{Z_4} = \langle 1 \rangle = \langle 3 \rangle$이라고 볼 수 있다.

관찰해보면 $\langle 2 \rangle$, $\langle 4 \rangle$도 순환군임을 볼 수 있다.

$\langle \mathbb{Z_n}, +_n \rangle$의 생성원의 개수는 4-1에 의해 $n$과 서로소의 개수만큼 존재한다.