[현대대수학] 7. 생성집합

순환군 $\langle a \rangle$는 $a$을 생성원으로 하는 부분군이었다.

6절에서는 생성원이 하나였으나 여기서는 여러 개의 생성원으로 이루어지는 부분군을 알아보고자 한다.

 

$a, b$를 포함하는 $\langle G \rangle$의 가장 작은 부분군 $H$는 무엇일까?

$... a^{-1}, a, a^2, a^3, ...,b^{-1} b, b^1, b^2, ...$도 있어야 하고

$ab, a^2b, a^3b, ..., ab^2, a^2b^2, ...$도 있어야 하며

$aba, abab, abab^2, a^2b^{-1}a^3$같은 경우도 포함해야 할 것이다.(가환이라는 보장이 없기 때문)

이를 정리해보면 다음과 같이 나올것이다.

$\langle a, b \rangle = \{ a^{n_1}b^{n_2}\cdots a^{n_{k-1}}b^{n_k} | n_i \in \mathbb{Z}, k \in \mathbb{N} \}$

 

위 경우는 생성원이 2개일 경우이고 이를 일반화하면

$\langle a_1, a_2, \cdots  \rangle = \{ x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_k^{n_k} | x_i = a_j, n_i \in \mathbb{Z}, k \in \mathbb{N} \}$

가 된다.

여기에서 $a_1, a_2, ...$를 포함하는 집합을 생성 집합이라고 하고 이는 무한집합일 수 있다.

 

하나의 생성원으로 만들 수 없었던 부분군이 여러 개의 생성원으로 만들 수 있는 경우가 있다.

예를 들어 $\mathbb{Z_6}$를 보자

지난 시간 내용에 의하면 $\langle 2 \rangle, \langle 3 \rangle$은 $6$과 서로소가 아니기 때문에 $\mathbb{Z_6}$의 생성원이 될 수 없다.

그러나 $\langle 2, 3 \rangle$을 생성원으로 두면 $2, 3$을 적절히 연산하여 6과 서로소인 $5$를 만들 수 있기 때문에 $\mathbb{Z_6}$를 생성할 수 있다.

다시 말해 생성원이 아니더라도 다른 생성원과 조합해 순환군의 생성원을 만들 수 있다면 생성집합으로서 가능하다.