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수학/현대대수학

[현대대수학] 8. 치환군

riroan 2021. 12. 23. 03:17

치환

집합 A가 있을 때 일대일 함수 σ:AAA치환(Permutation)이라고 한다.

 

쉽게 말해 정의역 원소의 순서가 있다고 가정할 때 그 순서를 바꾸는 함수를 치환이라고 하는 것이다.

{1 2 3}{2 3 1}가 치환의 예이다.

위의 예시를 기호로 나타내면 다음과 같다.

σ=(123231)

(행렬같아보이지만 행렬이 아니다!)

 

σ(1)=2

σ(2)=3

σ(3)=1

인 함수가 된다.

 

서로 다른 치환을 (곱)연산할 수 있다.

σ=(123231) τ=(123213)라고 하면

στ=(123231)(123213)=(123321)가 된다.

여기서 중요한점은 τ부터 계산한다는 점이다.

합성함수 개념이기 때문에 변수로부터 가까운 것부터 연산을 한다.

στ(1)=σ(τ(1))=σ(2)=3 이다.

 

A가 공집합이 아닌 집합이고 SAA의 모든 치환의 모임이라고 하면 SA는 치환 곱셈 아래에서 군을 이룬다. SA,

1. 치환 곱셈은 합성함수로 볼 수 있으므로 결합법칙이 성립한다.

2. 치환의 항등원은 존재한다. 그 항등원은 aA에 대해 σ(a)=a인 치환 σ이다.

3. 치환의 역원은 존재한다. 그 역원은 aA에 대해 τ(σ(a))=a인 치환 τ이다.

 

치환 일반적으로 Sn은 정의역이 {1,2,3,,n}인 치환이고 SA는 정의역이 집합 A인 치환이다.

치환 SA,SB가 있고 일대일함수 f:AB가 있어 A,B가 같은 농도를 가진다면 SA,SB는 서로 동형이다.

 

f:AB가 함수이고 HA의 부분군이라 할 때 f아래에서 H의 상은 {f(h)|hH}이고 f[H]로 나타낸다.

함수의 입력이 단일원소라면 f(h)같이 나타내고 군일 때 f[H]로 나타낸다.

 

https://www.acmicpc.net/problem/16289

 

16289번: Path Embedding

Your program is to read from standard input. The first line contains an integer, n, representing the number of vertices of the host graph H which forms a tree, where 2 ≤ n ≤ 100,000. It is followed by n − 1 lines, each contains two positive integers

www.acmicpc.net

이 문제에 치환이 나온다.