치환
집합 A가 있을 때 일대일 함수 σ:A→A를 A의 치환(Permutation)이라고 한다.
쉽게 말해 정의역 원소의 순서가 있다고 가정할 때 그 순서를 바꾸는 함수를 치환이라고 하는 것이다.
{1 2 3}→{2 3 1}가 치환의 예이다.
위의 예시를 기호로 나타내면 다음과 같다.
σ=(123231)
(행렬같아보이지만 행렬이 아니다!)
σ(1)=2
σ(2)=3
σ(3)=1
인 함수가 된다.
서로 다른 치환을 (곱)연산할 수 있다.
σ=(123231) τ=(123213)라고 하면
στ=(123231)(123213)=(123321)가 된다.
여기서 중요한점은 τ부터 계산한다는 점이다.
합성함수 개념이기 때문에 변수로부터 가까운 것부터 연산을 한다.
즉 στ(1)=σ(τ(1))=σ(2)=3 이다.
A가 공집합이 아닌 집합이고 SA 를 A의 모든 치환의 모임이라고 하면 SA는 치환 곱셈 아래에서 군을 이룬다. ⟨SA,⋅⟩
1. 치환 곱셈은 합성함수로 볼 수 있으므로 결합법칙이 성립한다.
2. 치환의 항등원은 존재한다. 그 항등원은 a∈A에 대해 σ(a)=a인 치환 σ이다.
3. 치환의 역원은 존재한다. 그 역원은 a∈A에 대해 τ(σ(a))=a인 치환 τ이다.
치환 일반적으로 Sn은 정의역이 {1,2,3,⋯,n}인 치환이고 SA는 정의역이 집합 A인 치환이다.
치환 SA,SB가 있고 일대일함수 f:A→B가 있어 A,B가 같은 농도를 가진다면 SA,SB는 서로 동형이다.
f:A→B가 함수이고 H가 A의 부분군이라 할 때 f아래에서 H의 상은 {f(h)|h∈H}이고 f[H]로 나타낸다.
함수의 입력이 단일원소라면 f(h)같이 나타내고 군일 때 f[H]로 나타낸다.
https://www.acmicpc.net/problem/16289
16289번: Path Embedding
Your program is to read from standard input. The first line contains an integer, n, representing the number of vertices of the host graph H which forms a tree, where 2 ≤ n ≤ 100,000. It is followed by n − 1 lines, each contains two positive integers
www.acmicpc.net
이 문제에 치환이 나온다.
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