나름 개발자의 IT블로그

치환 $\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 3&8&6&7&4&1&5&2 \end{pmatrix}$가 있다고 하자. 이 치환을 반복하다보면 유한번(최대 치환 크기)안에 처음 원소 순서로 돌아온다. $\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 3&8&6&7&4&1&5&2 \end{pmatrix}$ $\sigma^2 = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 6&2&1&5&7&3&4&8 \end{pmatrix}$ $\sigma^3 = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 1&8&3&4&5&6&7&2 \end{pmatrix}$ $\sigma^4 = \begin{pmatrix} 1&2&3..

치환 집합 $A$가 있을 때 일대일 함수 $\sigma : A \rightarrow A$를 $A$의 치환(Permutation)이라고 한다. 쉽게 말해 정의역 원소의 순서가 있다고 가정할 때 그 순서를 바꾸는 함수를 치환이라고 하는 것이다. $ \{ 1 \space 2 \space 3 \} \rightarrow \{ 2 \space 3 \space 1\}$가 치환의 예이다. 위의 예시를 기호로 나타내면 다음과 같다. $ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (행렬같아보이지만 행렬이 아니다!) $\sigma (1) = 2$ $\sigma (2) = 3$ $\sigma (3) = 1$ 인 함수가 된다. 서로 다른 치환을 (곱)연산할 ..

순환군 $\langle a \rangle$는 $a$을 생성원으로 하는 부분군이었다. 6절에서는 생성원이 하나였으나 여기서는 여러 개의 생성원으로 이루어지는 부분군을 알아보고자 한다. $a, b$를 포함하는 $\langle G \rangle$의 가장 작은 부분군 $H$는 무엇일까? $... a^{-1}, a, a^2, a^3, ...,b^{-1} b, b^1, b^2, ...$도 있어야 하고 $ab, a^2b, a^3b, ..., ab^2, a^2b^2, ...$도 있어야 하며 $aba, abab, abab^2, a^2b^{-1}a^3$같은 경우도 포함해야 할 것이다.(가환이라는 보장이 없기 때문) 이를 정리해보면 다음과 같이 나올것이다. $\langle a, b \rangle = \{ a^{n_1}b^{..

순환군 $G$가 군이고 $a \in G$일때 $H=\{ a^n | n \in \mathbb{Z}\}$인 군 $H$는 $G$의 부분군이며 a에 의해서 생성되는 G의 순환 부분군(cyclic subgroup $\langle a \rangle$ of generated by $a$)이다. 또한 $H$는 $a$를 포함하는 $G$의 가장 작은 부분군이다. $a$는 $H$의 생성원(generator of $G$)이며 군 $H=\langle a \rangle$는 순환적(cyclic)이라고 한다. 순환군의 성질 1. 모든 순환군은 가환이다. 2. 순환군의 부분군은 순환적이다. 3. $G = \langle a \rangle$라 할때 $G$는 $\mathbb{Z}$나 $\mathbb{Z_n}$과 동형이다. 4. $G = \..

지금까지는 이항연산의 예를 들기 위해 $*$기호를 사용하였지만 앞으로는 기호를 다음과 같이 표기하기로 한다. 군(Group) 아벨군(Abelian group) $a*b$ $ab$ $a+b$ 항등원 $1$ $0$ 역원 $a^{-1}$ $-a$ $\overbrace{a*a*\cdots *a}^{\rm n}$ $ a^n = \overbrace{aa\cdots a}^{\rm n}$ $ na = \overbrace{a+a+\cdots +a}^{\rm n}$ 단순 덧셈, 곱셈기호같이 보이지만 실제로 덧셈, 곱셈의 역할을 하는 것은 아니다. 군에서의 이항연산을 표기만 저렇게 하는 것이다.(생각보다 편리한 부분이 많은 것 같다.) 위수 군$G$에 속하는 원소의 개수를 $G$의 위수(order) $|G|$라고 한다. 부..

군 군(Group) $\langle G, *\rangle $는 이항연산 $*$아래에 닫혀있고 다음 공리를 만족하는 집합 $G$이다. $\mathcal{G_1}$: 모든 $a,b,c \in G$에 대해 $(a*b)*c=a*(b*c)$을 가진다. (결합법칙) $\mathcal{G_2}$: 모든 $x \in G$에 대해 $e*x=x*e=x$인 $e \in G$가 존재한다. ($*$에 대한 항등원의 존재) $\mathcal{G_3}$: $a \in G$에 대응하는 $a'*a=a*a'=e$인 $a' \in G$가 존재한다.($a$의 역원 존재) 특히 군이면서 연산 $*$가 가환인경우 Abel군(Abelian group)이라고 한다. 즉 군이란 결합법칙, 항등원, 각 원소에 대한 역원을 가진 이항연산을 갖춘 집합이..

이항 대수적 구조 지금까지 "연산을 집합 $S$에 대하여 이항연산 $*$가 있을 때..."라고 표현을 했다. 앞으로 이를 간략화 하여 $(S, *)$로 표기하고 이항 대수적 구조(binary algebraic structure)라고 부른다. $(\mathbb{R},+)$같은 경우는 실수의 덧셈 연산에 대한 이항 대수적 구조라고 보면 된다. 동형 이항 구조 두 이항구조가 구조적으로 같기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다. 두 이항구조 $(S, *), (S', *'), x \in S, x' \in S'$에서 만약 $x \leftrightarrow x', y \leftrightarrow y'$이면 $ x*y \leftrightarrow x' *' y'$인 일대일 대응관계를 만족해야 한다. 여기서 $x \le..

이항연산(binary operation) 어떤 집합 $S$에서 이항연산 $*$가 $S \times S \rightarrow S$인 사상이다. 순서쌍 $(a,b)\in S \times S$에 대해 $S$의 원소 $*((a,b))=a*b$로 나타낸다. 이를 우리가 평소 하던 실수 덧셈에 대입해 보자면 $S = \mathbb{R}, *=+$ 가 된다. 이항연산에서 핵심은 순서쌍의 집합과 연산 결과의 집합이 같아야 한다는 것이다. 이를테면 다음은 이항연산이 아니다. $S = \mathbb{Z^+}, *=-$ $a=1, b=3$을 선택할 경우 $a-b=-2$가 되어 $\mathbb{Z^+}$에 포함되지 않기 때문이다. 유도된 연산(induced operation) $*$가 $S$위에서 이항연산이고 $H \subs..

우리가 늘 하던 덧셈과 곱셈은 두개의 항을 가지고 연산을 한다. 그래서 우리는 이 연산을 이항연산이라고 부른다.(코딩할때와 비슷한 개념같다.) $ x + x = a \space (a \in \mathbb{R})$ 인 경우 $ x = \frac{a}{2}$ 라는 것을 안다. 하지만 $ a

평소에 수학을 좋아하기도 하고 알고리즘 문제를 풀며 상당히 많은 개념이 현대대수에 들어있는 것 같다. 휴학이기도 하고 개발도중에 기분전환으로 수학 한번 해보고 싶어 취미로 공부해보려고 한다. (수박 겉핥기가 되겠지만...) 비전공자이지만 알아두면 언젠가는 쓸모 있을 것 같아 블로그로 정리하기로 했다. 유튜브와 Fraleigh 책으로 공부할 예정이다. (포스트하며 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그런 경우 댓글로 남겨주세요..)